从古典时代到当代，两千多年的完美传奇
公元前6世纪，古希腊的数学家毕达哥拉斯这样说道：“数字6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”毕达哥拉斯的意思是，如果把6的真因数1，2，3拿出来(真因素就是除了其本身的因数)，然后把他们加起来得到 1+2+3 真好也得到6 . 于是毕达哥拉斯把拥有这样性质的自然数叫做完美数。 他随后发现，28的真因数有1，2，4，7，14，这些真因数的和加起来也正好等于28本身。
大概又过了大约两三百年，到公元前3世界的样子，欧几里得在他的《几何原本》中写出了另外两个完美数496和 8128，并揭示了一个寻找完美数的规律，他发现：
更神奇的是，括号内的数加起来也是一个质数( 这里括号内的数加起来分别是3, 7, 31, 127 ) 。
通过等比数列的求和公式，我们得到：
欧几里得自己证明了这个命题。但他没有证明的是，一个完美数是否只能是这样的形式。注意，如果完美数是如此形式，那么它一定是偶数(因为乘以了2的正整数的幂次)，那么是否有奇数的完美数呢？欧几里得同样没有回答。但是诡异的是，欧几里得似乎一直没找到第5个完美数。
又过了400年到了公元100年，古希腊数学家，新毕达哥拉斯主义的代表人物尼科马库斯发布了巨著《算术》。在这本《算术》中他介绍了完美数，并对下面5个猜想深信不疑：
猜想一： 第n个完美数是n位数，
猜想二： 所有完美数都是偶数
猜想三： 完美数从小到大排列后，它们的最后一个数字6和8交替出现
猜想四： 欧几里得的这套流程能得到所有的偶完美数
猜想五： 有无穷多个完美数
但他的书中并没有描述过证明这个五个猜想的尝试。这个五个猜想居然持续了1000多年无人证明或者证否，很多人都当成信仰将其列为事实。
公元1230年左右，埃及数学家法鲁斯声明计算出了10个完美数。 但验证发现其中三个算错了，根本不是完美数。后人纠错后确认了7个完美数。第5个完美数是的p=13的时候得到的：
这是一个8位数，尾数是6。
而第6个完美数是p=17的时候得到的：
这是一个10位数，尾数还是6。
这样猜想一和猜想三都被证否。剩下的猜想还有三个。
完美数猜想的研究开始走如不同分支，因为欧几里得提示的方法是已知最容易找到完美数的办法。因为只需要关注型如2的p次幂减一的质数。法国数学家梅森展开了这方面的深入研究，之后，具有这样形式的质数被称为梅森质数。1644年，梅森发表了一个列表，他认为p = 2, 3, 5, 7, 13, 17,19, 31,67, 127, 257 这些质数时，都能得到响应的梅森质数。他本人验证了其中7个梅森质数，就是p = 2, 3, 5, 7, 13, 17,19 的情况 。 更大的质数的情形，梅森就无能为力了。在当时，验证一个20位的整数是不是质数，是一件非常困难的事情。
同时期，梅森向其他数学家分享了这个问题。分享的数学家中，包括创立解析几何的笛卡尔。
笛卡尔在给梅森的信中写道： 我觉得我能证明偶完美数只能欧几里得给的形式。他同时关注奇完美数的情况：他猜想如果一个完美数是奇数，那么这个数一定是一个奇质数与一个完全平方数的乘积。但是笛卡尔没有提供这个两个命题的任何一个。
又过了大概100年。1720年代，当时是彼得大帝数学老师的数学家哥德巴赫与数学家欧拉保持着长期稳定的书信。这些书信中，提到过很多著名的问题，最有名的莫过于哥德巴赫猜想。同样，完美数的问题哥德巴赫也通过书信介绍给了欧拉。欧拉知道后，对这个问题进行了研究。 也得到了关于这个问题重大进展。
第一个大进展是，他证明了p=31时，对应了一个梅森质数，从而找到了第8个完美数。
欧拉的另外一个进展是，证明刚刚提到的笛卡尔说的奇完美数的性质。
欧拉引入一个函数，叫做σ函数。和完美数考虑所有真因数之和不同的是，σ(n)的值是n的所有因数之和。就是说，需要多加上一个n自身。这样，完美数就是那些σ(n)=2n的那些数。看上去这是一个无关痛痒的改进，但是却对解决笛卡尔的猜想有至关重要的作用。这个作用的源泉就在于它的性质。
欧拉计算出σ函数满足如下公式，它有一个可乘性的重要性质：
这样利用这个函数的性质，可以轻易笛卡尔的猜想。
欧拉关于完美数的第三进展是，利用函数，他证明了一个偶完美数必然是欧几里得提供的形式。这样对于偶完美数的寻找，完全等价于对梅森质数的寻找。但是对于奇完美数，欧拉也无能为力。欧拉说：无论奇完美数是否存在，这个问题都太难了。
现在猜想还有两个：
猜想二： 所有完美数都是偶数(或者说，没有奇完美数)
猜想五： 有无穷多个完美数。
在欧拉取得进展后的150年左右，完美数研究的进展缓慢，甚至没有再能找到一个新的完美数。英国数学家巴罗甚至觉得，欧拉找到的完美数可能是人类能找到最大的那个了。因为找这个数完全是为了满足好奇心而没有实际用处，所以应该没人会闲的蛋疼去找下一个。——待会儿大家会看到，巴罗低估了未来人的闲的蛋疼。
1876年，数学家卢卡斯证明了梅森列表中的 p = 67时，对应的数不是质数。但卢卡斯并没有给出这个这个数的具体的一个质因数。但卢卡斯贡献的卢卡斯定理却让梅森质数的发现加快了脚步。
1903年，数论学家柯尔(就是数论最高奖柯尔数论奖的柯尔)在一次演讲中，突然停止讲话，默默在黑板上写下了
当场掌声雷动。
柯尔事后说，他每个周日都在算这个数，持续了三年。——想想，100多年前需要计算几百天的才能有结果的东西，现在被计算机秒出，这世界的变化是多么的神奇。
人们利用卢卡斯定理， 证明了梅森遗漏的p =61, 89, 107时对应的梅森质数和完美数。而卢卡斯本人也验证了p =127是，对应了一个梅森质数和完美数。
直到1952年，人类只找到了这12个梅森质数，对应这12个完美数。p = 127 的情形，也是人类手动计算梅森质数的最大的情况。
这个时候，计算机出场了。美国数学家罗宾逊用当时最速度快的计算机标准西部计算机(SWAC) 配上他写的程序开始计算梅森质数。用了10个月时间，得到了5个新找到的梅森质数，分别是 p = 521, 607, 1279, 2203, 2281 。 之后，人们用不同的计算机，分别计算出了更多的梅森质数，找到了第33个梅森质数，是p = 859433的情况。 而对应的梅森质数有258716位数。
自此，计算机的瓶颈也出现了，哪怕是超级计算机(超算)也没有办法继续寻找梅森质数和完美数了。因为计算量实在太大了。
这个时候，另外一个计算技术的进展出现了。1996年，计算机科学家乔治·沃特曼启动了一个项目叫做分布式计算因特网梅森素数大搜索项目，也就是大名鼎鼎的GIMPS。 这是一个分布式计算的一个最大型的实验之一，每个人都可以提供自己算力，分别去计算梅森质数。这个项目，到今天依然运作着。由于计算机的所有者会被命名为发现者，所以这可能是普通人在数学史上青史留名的最简单的方案。
故事迎来一个高潮，2017年一位孟菲斯的教堂牧师约翰·佩斯(John Pace)发现第50个梅森质数，同时这也是人类已知的发现的具体的最大的质数。这条消息甚至得到了纽约时报的大篇幅报道，报道中甚至说了这个质数如果要写在纸上，要超过2300万位。于是一个日本的出版社虹色社出版了一本书，实践了把这个数写在纸上。书名叫做《2017年最大的素数》书中没有任何别的内容，就原原本本印刷了这个数字，总共写了719页。这本书定价1944日元，大约100多快人民币。它很快就成为亚马逊的日本数学类畅销书第一，并且卖到脱销。当时被一些网友评为世界上最荒诞的图书。
然而，当时没人想到这个高潮是系列连续剧。一年后，第51个梅森质数被发现了，这回这个数是超过2400万位。相同的出版社又出了一本书《2018年最大的质数》，769页，将这个荒诞进行到底。
2024年10月22日, 第52个梅森质数被发现了，还是GIMPS 发现，不同的是这回用的是用GPU计算得到的结果。GPU这种因为为了提升电子游戏视觉效果而发展壮大的芯片品类，现在又做了一个电子游戏之外的事情。
而故事的另外一条线，是否存在奇完美数？数学家们依然在探索。
貌似这个问题很简单，实际上我们只要找到一个是奇完美数就可以了。然而这条故事线依旧精彩。1991年，数学家们利用因子链算法(factor chain)证明了，在10的300次方内不可能有奇完美数存在。而20多年后，2012年，又有人证明了，奇完美数不可能小于10的1500次方。实际上相同算法正在验证在10的2200次方之内，不可能有奇完美数。
于是，大多数数学家倾向于去证明奇完美数不存在。
如果要证明奇完美数不存在，我们需要去整合现在已经发现的奇完美数的性质，或者需要发现更多奇完美数的性质。需要看看，这些性质之间是否存在矛盾。而现在整合这些性质的得到结果，大多都只能得到奇完美数不会少于某个数的结果，比如前面提到的10的300次方, 10的1500次方, 10的2200次方云云。有限的数字下界似乎对问题的解决作用不大。
也有人利用另外的路径。就像我们试图证明类似 x²+1=0 没有整数解，实际上证明它在更大范围的实数无解可能更容易，因为我们有更简便工具证明它无解。于是，有人在研究一种叫笛卡尔数的性质。笛卡尔数是一个范围更大的数的集合，它包含了奇完美数。如果笛卡尔数的某个性质和奇完美数的某个性质产生了矛盾，也就完成了证明。 不过道路依旧漫长。
那么，我们去找这些数或者证明这样的问题有什么用呢？很多纯数学家会直接回答你，不知道有什么实际的应用，甚至他认为可能真没什么用，即使有用也不是数学家应该回答的问题。数学家自己专注与做数学就可以了。在得到答案过程中，顺便产生的副产品能给很多人吃一辈子了，不是吗？